Итак, сегодня я решила несколько отклониться от намеченного курса динамики и поделиться с вами кусочком теории механических колебаний и волн и теории звука в дополнение к статье Вики по сольфеджио (слово статья тыкабельно).
Введение: краткая теория колебаний
Гармонические колебания
Для начала хочу напомнить, что гармоническими называются колебания, при которых координата тела, совершающего свободные колебания, меняется по закону синуса или косинуса. Для более младшей аудитории необходимо это знать как аксиому, а для более старшей приведу математический вывод:
Из курса начал математического анализа вы знаете, что мгновенная скорость есть производная координаты по времени. Ускорение - производная скорости по времени (вторая производная координаты по времени).
Уравнение, описывающее колебания груза на пружине, имеет вид
a=-w 0^2*x
(обозначение w 0 - то же, что более привычное "омега нулевое"). Применяя доступный нам математический аппарат, получаем уравнение вида
x''=-w 0^2*x.
Согласно этому уравнению при свободных колебаниях координата х изменяется во времени так, что ее вторая производная по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку. Никакие функции, кроме синуса и косинуса, не обладают этим свойством: их вторая производная пропорциональна самой функции, взятой с противоположным знаком. Таким образом, утверждение о том, что гармонические колебания выполняются по закону синуса (косинуса), доказано.
При совершении колебаний тело периодично повторяет свои движения, поэтому логично, что его движение описывает периодическая функция.
Амплитуда, период и частота гармонических колебаний
1. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия. Ниже приведена гифка, на которой мы видим, как маятник достигает положения максимального отклонения от положения равновесия - это и есть амплитуда.
2. Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебаний. Зная период, можно определить частоту колебаний - число колебаний в единицу времени:
n=1/T,
где n - частота колебаний (для удобства обозначила как n, более распространенное обозначение - греческая "ню"). Поскольку наименьший период синуса и косинуса - 2pi, то вводится также циклическая частота - частота колебаний не за 1 с, а за 2pi с:
w 0 = 2pi/T = 2pi*n.
Волны
Изменение состояния среды, распространяющееся в пространстве с течением времени, называется волной. Волны могут иметь различную форму.
Волновой импульс (одиночная волна) - сравнительно короткое возмущение (всплеск) произвольной формы. Пример: резиновый шнур, привязанный к стенке, при взмахе рукой, держащей противоположный конец растянутого шнура.
Важнейшая характеристика волны - скорость ее распространения, т.к. волны распространяются не мгновенно - их скорость конечна. Специальная теория относительности описывает скорость света как максимальную возможную скорость распространения волн.
v света = 300 000 км/с
Волны бывают двух видов: продольные и поперечные.
Поперечные волны - волны, при которых колебания совершаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. В качестве примера подойдет все тот же резиновый шнур.
Продольные волны - колебания происходят вдоль направления распространения волны. Классический пример, демонстрируемый на уроках физики, - всем известная игрушка: радужная пружинка, которую растягивают вдоль стола ребрами спирали перпендикулярно полу, когда с одного конца ее бьют, и волна бежит, создавая эффект усиления яркости окраски витков спирали.
Звук
Общие сведения о звуке.
Начнем с того, что любое тело, независимо от его агрегатного состояния, колеблющееся со звуковой частотой, создает в окружающей среде звуковую волну. Звуковая волна представляет собой последовательность сжатий и разрежений упругой среды (воздуха, воды, стали и т.д.), распространяющихся с определенной скоростью. В вакууме звуковые волны не распространяются, так как он не является упругой средой, поэтому в космосе царит абсолютная тишина. Скорость звука в воздухе при нуле градусов Цельсия составляет 331 м/с.
Музыкальные звуки и шумы. Громкость и высота звука.
Громкость звука.
Звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом, называют музыкальным тоном. Чистый музыкальный звук можно получить с помощью простого прибора - камертона. Его колебания очень близки к гармоническим.
Далее нам необходимо ввести еще одну характеристику звука - его давление. Дабы не вдаваться в еще более сложные для понимания учениками 7-9 классов подробности, процитирую несложное для понимания определение из википедии:
Давление звукового излучения, давление звука — среднее по времени избыточное давление на препятствие, помещённое в звуковое поле. Это давление определяется импульсом, передаваемым волной в единицу времени на единицу площади препятствия.
К чему это? Да к тому, что громкость звука определяется амплитудой колебаний его давления (не забываем, что математически звуки описываются функциональными зависимостями). Чем сильнее удар молоточка по камертону, тем громче звук.
Далее вернемся к разделу с общими сведения о звуке:
...любое тело, независимо от его агрегатного состояния, колеблющееся со звуковой частотой, создает в окружающей среде звуковую волну.
Ухо человека - приёмник механических волн с, грубо говоря, такой же мембраной, которая по аналогии со слуховым аппаратом животных используется в радиотехнике. Оно восприимчиво к определенному диапазону частот колебаний - частот звука. Человеческое ухо наиболее восприимчиво к частоте колебаний, равной примерно 3500 Гц.
Опять же к чему это лирическое отступление? К тому, что звуковые колебания одинаковой амплитуды не кажется нам одинаково громкими, если они имеют разные частоты.
В акустике существует специальная величина - интенсивность звука. Интенсивность звука равна отношению энергии, перенесенной звуковой волной за время t через поверхность площадью S, перпендикулярную к направлению распространения волны, к произведению площади S и времени t. Энергия колебаний в волне пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому и интенсивность звука определяется амплитудой колебаний: пропорциональна квадрату амплитуды.
Подытоживая всё вышесказанное, делаем вывод, что громкость характеризует субъективное звуковое ощущение и пропорциональна интенсивности звука - объективной энергетической характеристике акустических волн.
Высота звука.
Высота звука, точнее, высота тона, определяется частотой колебаний. Рассмотрим пример со струнными инструментами: увеличение натяжения струны приводит к увеличению частоты свободных колебаний. Поэтому, натягивая струны гитары с помощью колков, мы делаем звук более высоким.
Кроме того частота колебаний струны зависит при данной силе натяжения от ее длины. При игре гитарист прижимает струны к грифу, уменьшая их длину, и меняет тем самым высоту звука инструмента.
Шум.
Шум отличается от музыкального звука отсутствием какой-либо определенной частоты колебаний и, следовательно, высоты звука. В шуме присутствуют колебания всевозможных частот.
Следующее занятие будет посвящено тембру, диапазону звуковых частот, инфра- и ультразвуку.